雷米欧司定理

编辑:砍头网互动百科 时间:2019-11-18 21:29:00
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在一个三角形里有两条角平分线相等,那么这是一个等腰三角形。(斯坦纳——雷米欧司定理)
根据这定理很容易证出该三角形是等边三角形。
至于这定理比较难证,可用反证法. (据说欧几里德也想不到怎么证)
证明:如图,则在△EBC与△DBC中:sin(2β+γ)/ sin2β= BC/CE = BC/BD = sin(β+2γ)/ sin2γ,
∴2sinβcosβsin(β+2γ) - 2sinγcosγsin(2β+γ) =0
→sinβ sin2(β+γ)+sin 2γ】- sinγ【 sin2(β+γ)+ sin2β】=0(积化和差)
→sin2(β+γ)【sinβ-sinγ】+2 sinβsinγ【cosγ- cosβ】=0(重新分组并提取公因式)
→sin [(β-γ)/2]【sin2(β+γ) cos[(β+γ)/2] + 2 sinβsinγsin [(β+γ)/2]=0(和差化积)
又显然上式的后一个因式的值大于零,∴sin[(β-γ)/2]=0, ∴β=γ,∴AB=AC. 证毕!
词条标签:
理学