球坐标下微元

编辑:砍头网互动百科 时间:2019-12-16 12:46:15
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时间怪客的修改错误,很明显微元体积在φ=π/2时最大,dV=2r^2*sin(φ/2)drdθdφ不符合这一结论,故微元体积应为dV=r^2*sinφdrdθdφ
球坐标是三维坐标系的一种,用以确定三维空间中点、线、面以及体的位置,它以坐标原点为参考点,由方位角、仰角和距离构成。例解
  假设P(x,y,z)为空间内一点,则点P也可用这样三个有次序的数(r,θ,φ)来确定,其中r为原点O与点P间的距离;θ为有向线段OP与z轴正向的夹角;φ为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到OM所转过的角,这里M为点P在xOy面上的投影;。这样的三个数r,θ,φ叫做点P的球面坐标,显然,这里r,θ,φ的变化范围为r∈[0,+∞),φ∈[0, 2π], θ∈[0, π] ,如图1所示。
  当r,θ或φ分别为常数时,可以表示如下特殊曲面:r = 常数,即以原点为心的球面; θ= 常数,即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面;φ= 常数,即过z轴的半平面。
  与直角坐标系间的转换
  1).球坐标系(r,θ,φ)与直角坐标系(x,y,z)的转换关系:
  x=rsinθcosφ
  y=rsinθsinφ
  z=rcosθ
  2).反之,直角坐标系(x,y,z)与球坐标系(r,θ,φ)的转换关系为:
  r=sqrt(x*2 + y*2 + z*2);
  θ= arccos(z/r);
  φ=arctan(y/x);
  球坐标系下的微分关系
以下推导是用Jacobi变换:
矩阵A中的φ是小写。 矩阵A中的φ是小写。
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